Konsekvent prissättning av FX Options.1 Konsekvent prissättning av FX Options Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Milano På de nuvarande marknaderna är alternativ med olika slag eller löptider vanligtvis prissatta med olika underförstådda volatiliteter. Detta stiliserade faktum, som vanligtvis kallas leendeffekt Kan tillgodoses genom att tillgripa specifika modeller antingen för prissättning av exotiska derivat eller för att avleda underförstådda volatiliteter för icke-citerade strejker eller löptider. Den tidigare uppgiften uppnås vanligtvis genom att införa alternativ dynamik för det underliggande tillgångspriset, medan det senare ofta hanteras med hjälp av Av statiska justeringar eller interpoleringar I den här artikeln behandlar vi den här senare frågan och analyserar en möjlig lösning på en valutamarknads valutamarknadsmarknad. På en sådan marknad finns det i själva verket endast tre aktiva noteringar för varje marknadsmognad, Vändning och den vega-viktade fjärilen, så att vi presenterar problemet med en konsekvent bestämning Av de andra underförstådda volatiliteterna FX-mäklare och marknadsförare tar oftast upp problemet genom att använda ett empiriskt förfarande, även namnet Vanna-Volga VV, för att konstruera hela leendet för en viss löptid. Volatilitets citat ges sedan i alternativet s, för Sträcker sig från 5 till 5-samtalet I det följande kommer vi att granska detta marknadsförfarande för en given valuta. I synnerhet kommer vi att härleda slutna formulär för att göra konstruktionen mer tydlig. Vi ska sedan testa robustheten i en statisk Känslan av det resulterande leendet, genom att de konsekvent växlar de tre första paren av strejk och volatilitet, producerar så småningom samma underförstådda volatilitetskurva. Vi kommer också att visa att samma förfarande som tillämpas på Europeanstyle-krav är förenligt med statiska replikationsresultat och överväga, som ett exempel Det praktiska fallet med ett kvantitativt europeiskt alternativ Vi kommer slutligen att bevisa att marknadsförfarandet också kan motiveras dynamiskt genom att definiera en säkring Strategi som är lokalt replikerande och självfinansierande 2 En kort beskrivning av valutamarknaden På valutamarknaden är volatilitetsmatrisen byggd enligt den klibbiga Delta-regeln. Det underliggande antagandet är att alternativen är prissatta beroende på Delta, så att När det underliggande tillgångspriset flyttar och delningen av ett alternativ ändras i enlighet med detta, måste en annan underförstådd volatilitet anslutas till prissättningsformeln 1.2 FX-optionsmarknaden är väldigt likvida upp till relativt långa löptider 2 år, åtminstone för euro USD-växelkurs Den löpande ATM-volatiliteten är lättillgänglig och riskomvandlingen RR för 25 call och put och den vega-viktade fjärilen VWB med 25 vingar är också vanligt förekommande 1 Från dessa data kan man lätt dra nytta av tre grundläggande implicita Volatiliteter, från vilken man sedan kan bygga hela leendet för intervallet som går från en 5 till ett 5 samtal enligt metoden som vi ska skissera nedan. Vi anger genom S t värdet av en given växel Ränta vid tidpunkt t och utgå från konstanta inhemska och utländska riskfria räntor, som kommer att betecknas med rd och rf. Vi överväger sedan en marknadsmognad T och definiera de relaterade citat i följande ATM-volatiliteten citerad på valutamarknaden är den för En strejk, vars strejk för varje given utgång är vald så att en sätta och ett samtal har samma men med olika tecken behövs ingen häck när man handlar denna strängle Betecknar AT M ATM-volatiliteten för utgången T, ATM-strejken K AT M måste då tillgodose Ln S e rf TK AT M rdrf 2 AT MT e rf T ln SK AT M rdff 2 AT MT AT MT AT MT där den kumulativa standardnormalfördelningsfunktionen betecknas Straightforward algebra leder till K AT MS e rd rf 2 AT MT 1 RR är en typisk struktur där man köper ett samtal och säljer en sättning med en symmetrisk RR är citerad som skillnaden mellan de två underförstådda volatiliteterna, 25 c och 25 p för att ansluta till Black and Scholes formel för Ring och satsen respektive Denotin G ett sådant pris, i volatilitetsvillkor, av RR har vi 2 RR 25 c 25 p 2 VWB är uppbyggd genom att sälja en minibank och köpa en 25 sträng För att vara Vega-viktad måste kvantiteten av den tidigare vara Mindre än kvantiteten av sistnämnda, eftersom Vega av strängen är större än Vega av strängen. Fjärilens pris i volatilitetsvillkor, VWB, definieras sedan av VWB 25 c 25 p 2 AT M 3 För den angivna utgången T , Kan de två underförstådda volatiliteterna 25 c och 25 p identifieras omedelbart genom att lösa ett linjärt system. Vi erhåller 25 c AT MVWB RR 4 1 Vi släpper tecknet efter nivån av, i enlighet med marknadsjargonet. Därför är ett 25-samtal Ett samtal vars Delta är 25 Analogt är en 25-uppsättning vars Delta är En positiv RR betyder att samtalet gynnas genom att dess underförstådda volatilitet är högre än den implicita volatiliteten hos satsen ett negativt tal innebär motsatt 2,3 25 p AT MVWB 1 2 RR 5 De två strejk som motsvarar 25-satsen och 25 samtal kan härledas, akter Är enkel algebra, genom att komma ihåg deras respektive definitioner Till exempel för en 25 sats måste vi ha det som omedelbart leder till att vi har en 5 5 prdrf 2 25 p T 25 25 p T 5 p S e 25 p T rdrf 2 25 p T 6 där 1 1 4 erf T och 1 är den inverse normalfördelningsfunktionen På samma sätt får man också 5 c S e 25 c T rdff 2 25 c T 7 Vi understryker att för typiska marknadsparametrar och för löptider upp till två år, Och 3 5 p K AT M 5 c I det följande avsnittet kommer vi att förklara hur man använder de grundläggande underförstådda volatiliteterna och de relaterade strejk för att konsekvent avleda hela leendet för det angivna upphörandet T För detta ändamål kommer vi att arbeta med Samma typ av alternativ, t. ex. samtal, direkt överväger deras marknadspriser i stället för volatiliteter För att lätta noteringen och förenkla framtida formler kommer vi att ange de citerade strejken för den givna löptiden T av K i, 1, 2, 3, K 3, 4 Och set K De relaterade marknadsoptionspriserna, respektive betecknade med C MKT, C MKT och C MKT K 3, är röv För att uppfylla standardarbitrageförhållandena 3 VV-empiriska marknadsförfarandet Tänk på en europeisk köpoption med löptid T och strejk K, vars Black and Scholes-pris vid tidpunkt t betecknas med C BS t K, In S t C BS T KS te rf K rd rf 1 2 2 ln S t K rd rf 1 2 2 8 där T t och är en given volatilitetsparameter Det är välkänt att enligt Black-Scholes 1973 BS-modellen kan samtalets utbetalning Replikeras med en dynamisk strategi, vars initialvärde som är heltäckande för bankkontodelen överensstämmer med optionspriset 8 På reala finansiella marknader är emellertid volatilitet 3 För långa löptider är det marknadspraxis att överväga växelkursen som ATM-strejken 4 och K 3 ersätter 5 p, K AT M och 5 c 3,4 är stokastiska och handlarna säkrar den därmed sammanhängande risken genom att bygga Vega-neutrala portföljer Med tanke på den specifika karaktären av valutamarknaden kan portföljer också konstrueras så att de matchar Partiella derivat upp till den andra ordningen, så att b Det är en lemma, vi har en perfekt häck i ett oändligt tidsintervall, se även avsnitt 9 nedan. Det empiriska förfarandet bygger på att härleda en sådan säkringsportfölj för ovanstående samtal med mognad T och strejk K Exakt vill vi hitta tids - T vikter x 1 t K, x 2 t K och x 3 t K så att den resulterande portföljen av europeiska samtal med löptid T och strejker respektive K 3 säkrar prisvariationerna av samtalet med löptid T och strejk K, Upp till den andra ordningen i det underliggande och volatiliteten förutsatt att en - hedged position och med tanke på att, i BS-världen, portföljer av vanliga vaniljalternativ med samma mognad som Vega-neutral är också Gamma-neutrala, vikterna x 1 t K , X 2 t K och x 3 t K kan hittas genom att ange att den replikerande portföljen har samma Vega, dvegadvol volga och dvegadspot vanna som samtalet med strejk K, nämligen C BS t K 2 C BS t K 2 2 C BS S tt K BS C xit K t K ixit K 2 C BS 2 t K ixit K 2 C BS S tt K i 9 Beteckning med V t K Tidpunkten Vega av ett europeiskt alternativ med mognad T och strejk K, V t KC BS t KS te rf d 1 t K d 1 t K ln S t K rd rf 2 xx 1 e 1 2 x2 2 1 och beräkna Andra ordningens derivat vi kan bevisa följande 2 C BS V t K t K d 2 1 t K d 2 t K 2 C BS V t K t KS t S td 2 t K d 2 t K d 1 t K 4,5 Proposition 3 1 Systemet 9 medger alltid en unik lösning som ges av x 1 t K x 2 t K x 3 t KV t K ln KKV t Vn KV t V t KV t K 3 ln KK ln Kn ln K 11 I synnerhet om KK j sedan xit K 1 för ij och noll annars Bevis Se bilaga 4 Det resulterande optionspriset Vi kan nu gå vidare till definitionen av ett optionspris som överensstämmer med marknadspriserna för de grundläggande alternativen Ett leende-konsekvent Priset för samtalet med strejk K erhålls genom att till BS-priset lägga till kostnaden för att genomföra ovanstående säkringsstrategi till rådande marknadspriser. I formlerna för CKC BS K x K K K MKT K i C BS K 12 där Notationen, beroendet av v Alueringstid t utelämnas därefter när noll 5 Det nya optionspriset definieras sålunda genom att lägga till det platta leende BS-priset Kostnadsdifferensen i den säkringsportfölj som induceras av marknaden implicerade volatiliteter med avseende på den konstanta volatiliteten Robusthet och konsekvensresultat för optionen Pris 12 anges nedan När KK j har vi tydligt det CK j C MKT K j eftersom xi K 1 för ij och noll annars Därför definierar 12 inget annat än en regel för att antingen interpolera eller extrapolera priser från de tre alternativkurserna C MKT, C MKT och C MKT K 3 En marknadslimerad volatilitetskurva kan sedan konstrueras genom att invertera 12, för varje betraktad K, genom BS-formeln. Ett exempel på en sådan kurva finns i figur 1 där vi plottar implicita volatiliteter både mot strejker och Mot putta Deltas Vi använder följande EUR USD-uppgifter per den 1 juli 25 T 3m 94 365y, S 1 25, AT M 9 5, RR 5, VWB 13, vilket leder till 25 c 8 93, 5 c 9 5, 25 p 9 43, K ATM 5 p och 5 c Se även Tab Les 1 och 2 5 Detta pris beror på volatilitetsparametern I praktiken är det typiska valet att ställa AT M 5,6 Volatilitet Strike Put delta Figur 1 EUR USD implicita volatiliteter ritade både mot strejker och mot Deltas, där de tre marknadens basnoteringar framhävs Alternativpriset CK, som en funktion av strejken K, uppfyller följande noarbitrage villkor i CC 2, ii lim KCKS e rf T och lim KCK iii lim dc KK dk e rdt och lim KK dc K dk Den andra och tredje egenskapen, Som trivs trivsamt av C BS K, följer av att för varje jag går både xi K och dx i K dK till noll för K eller K För att undvika arbitrage möjligheter bör optionspriset CK också vara en konvex funktion av Strejken K, dvs 2 C d K för varje K Denna egenskap, som inte är sann i generellt, 6 håller dock för typiska marknadsparametrar, så att 12 leder faktiskt till priser som är arbitragefria i praktiken 5 En approximation för underförstådda Volatiliteter Ovanstående definition av alternativ Pris kombinerat med vår analysformel 11 för vikterna möjliggör avledningen av en enkel approximation för den implicita volatiliteten associerad med 11 Detta beskrivs i följande proposition 5 1 Den underförstådda volatiliteten k för ovanstående alternativ med pris CK är ungefär givet Av k 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K ln K 25 c 13 6 Man kan faktiskt hitta fall där ojämlikheten brutits för en viss strejk K 6.7 sant leende approximation 11 sant leende approximation Strike Put Delta Figur 2 EUR USD Underförstådda volatiliteter och deras approximationer, plottade både mot strejker och mot Deltas Proof Se bilagan Den underförstådda volatiliteten k kan således approximeras med en linjär kombination av de grundläggande volatiliteterna, med kombinationer yi K som sammanfattar en som tråkig men rak algebra visar det Är också lätt att se att approximationen är en kvadratisk funktion av ln K, så att man kan tillgripa en enkel parabolisk interpolering när logkoordinaterna är Använt En grafisk representation av godheten hos approximationen 13 visas i Figur 2 där vi använder samma EUR USD-data som för Figur 1 Tillnärmningen 13 är extremt exakt inom intervallet, K 3 Vingarna tenderar emellertid att vara övervärderade Faktum är att det är den funktionella formen kvadratiska i logstrecket, de icke-arbitragebetingelser som härrör från Lee 24 för det asymptotiska värdet av implicita volatiliteter bryts här. Denna nackdel behandlas av en andra, mer exakt approximation, som är asymptotiskt konstant vid extrem Strejker Proposition 5 2 Den implicita volatiliteten k kan bättre approximeras enligt följande där k 2 K 2 d 1 K d 2 K 2 D 1 KD 2 K d 1 K d 2 KD 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K Ln K 25 c 1 KD 2 K ln KK ln d 1 d 2 25 p 2 ln K ln K ln K d 1 K 3 d 2 K 3 25 c 2 7, 14 K d ln 1 d 2 ATM 2.8 115 sant leende approximation 115 Sannt leende approximation Strike Put Deltas Figur 3 EUR USD Underförstådda volatiliteter och deras approximationer, plottade båda mot stri Kes och mot Deltas och d 1 x Ln S xrdrf 2 T, d 2 xd 1 x T, x T Bevis Se bilagan Såsom vi kan se från Figur 3 är approximationen 14 extremt exakt också i vingarna. Den enda nackdelen är att Det kan inte definieras på grund av närvaron av en kvadratroterad term. Radikanten är dock positiv i de flesta praktiska tillämpningar. 6 Ett första konsistensresultat för priset CK Vi anger nu två viktiga konsekvensresultat som håller för optionspriset 11 och Som ger ytterligare stöd till ovannämnda empiriska procedur Det första resultatet är som följer Man kan undra vad som händer om vi tillämpar vår kurvanläggningsmetod när vi börjar från tre andra strejk vars tillhörande priser sammanfaller med de som kommer från formel 12 Det är klart att vår procedur är Robust vill vi att de två kurvorna exakt sammanfaller Faktum är att betrakta en ny uppsättning strejker H och beteckna de tidigare vikterna xi K av xi KK för att påverka beroendet av uppsättningen initiala strejk Analogt, xi KH wi Ll beteckna vikterna för strejken K som härrör från den nya uppsättningen strejker H Alternativet för varje H i är antagligen lika med det som kommer från 12, dvs CHH i CKH i C BS H ixj H i KCK j C BS K j 15 j 1 8.9 där superskript H och K markerar uppsättningen strejker prissättningsförfarandet baseras på För en generisk streck K definieras alternativpriset associerat med H, analogt med 12, med CHKC BS K xj KHCHH J C BS H jj 1 Förslag 6 1 Samtalpriserna baserade på H sammanfaller med de som är baserade på K, nämligen för varje streck K, CHKCKK 16 Bevis Se tillägg 7 Ett andra konsekvensresultat för priset CKA andra konsistensresultat som kan vara Bevisat för optionspriset 11 gäller prissättningen av derivat av europeisk stil och deras statiska replikering. För detta ändamål antar vi att h är en verklig funktion som definieras på, är välskött vid oändlighet och är två gånger differentierbar i betydelsen fördelningar Den enkla fordringen med utbetalning hs T till ti Jag T, vi anger vid V sitt pris i tid, med hänsyn till leendeffekten Vid Carr och Madan 1998 har vi V e rdt h S e rf T hxxxx dx Samma resonemang som antogs före konstruktionen av den implicita volatilitetskurvan Kan tillämpas på den allmänna lönen hs T Vi kan sålunda konstruera en portfölj av europeiska samtal med löptid T och strejker och K 3, så att portföljen har samma Vega, dvegadvol och dvegadspot som det givna derivatet Beteckningen V BS kravet Pris enligt Black and Scholes 1973-modellen, uppnås detta genom att hitta vikter xh 1, xh 2 och xh 3 så att V BS 2 V BS 2 2 V BS S xhixhixhi C BS K i 2 C BS 2 K i 2 C BS SK Jag som alltid existerar unik som vi redan har visat i Proposition 3 1 Vi kan sedan definiera ett nytt leende konsistent pris för vårt derivat som VV BS XI CK I C BS K I 17 9.10 Proposition 7 1 Ansvarspriset som överensstämmer med optionspriserna C är lika med kravet pris som erhålls genom att justera Black och Schol Es pris enligt kostnadsskillnaden i säkringsportföljen vid användning av marknadspriser CK i stället för de konstanta volatilitetspriserna C BS K i I formler VV Bevis Se tillägget I detta förslag framgår ett tydligt konsekvensresultat för enkla europeiska krav. Vi beräknar säkringsportföljen för fordran under platt volatilitet och lägger till det påståelseskurs som beräknats med Black and Scholes-modellen kostnadsskillnaden i marknadspriset för säkringsportföljen minus det konstanta volatilitetspriset, hämtar vi exklusivpriset som erhållits genom risk - Neutral densitet som indikeras av köpoptionspriserna som överensstämmer med marknadens leende. Detta användbara resultat kommer att tillämpas i följande avsnitt i det specifika fallet med ett kvantalternativ 8 Ett exempel ler konsekvent prissättning av ett kvantalternativ. Ett quanto-alternativ är ett derivat som betalar Ut vid löptid T beloppet s TX i utländsk valuta, vilket motsvarar s TXST i inhemsk valuta, där 1 för ett samtal och 1 för En sätta Standardargument på statisk replikering innebär att kvantkall och säljpriser kan skrivas i form av vaniljsamtal och sätta priser enligt följande: QCall T, X 2 X QPut T, X XP X 2 CK dk XC XXPK dk 18 där PX Är säljpriset med strejk X och mognad T, det vill säga PXCXS e rf TX e rdt Vi verifierar nu med reala marknadsdata att kvantpriserna 18 motsvarar priserna 17 som kommer från säkringsargument För detta ändamål använder vi marknadsdata som Den 1 juli 25, som rapporteras i tabellerna 1 och 2 Våra beräkningar redovisas i Tabell 3, där kvantpriserna beräknas med säkringsargument, dvs med formel 17, jämförs med de statiska replikationspriserna 18 som erhålls genom att använda 5 Och 3 steg respektive ett konstant strejksteg på 15 och 25 7 De procentuella skillnaderna mellan dessa priser visas också 7 Integreringarna i 18 kan givetvis beräknas med effektivare förfaranden. Här vill vi bara visa numeriskt Korrekthet av vår pri Cing procedur 1.11 Förfall USD Diskonteringsfaktor EUR Diskonteringsfaktor 3m 3 1 y 3 7 Tabell 1 Marknadsdata per 1 juli 25 Delta 3M 1Y 25 Put ATM 25 Samtalstabell 2 Slår och volatiliteter motsvarande de tre största Delta s, i juli 1, 25 Syftet med detta exempel är också att visa att kvotoptionspriserna kan härledas, konsekvent med marknadsminnet, genom att endast använda tre europeiska alternativ och inte ett strejksträng, vilket antyds av 18 9 Robustitet i prissättningsförfarandet Vi Avsluta artikeln genom att motivera det empiriska prissättningsförfarandet också dynamiskt. Det uppenbarligen godtyckliga sättet att nollställa partiella derivat av BS-priser upp till den andra ordern kan motiveras av att BS-modellen fortfarande är ett riktmärke vid värderingen av en optionsbok Det finns flera orsaker till detta faktum, förutom den uppenbara historiska en, jag underlättar genomförandet ii tydlig och intuitiv mening av modellparametrarna iii lättillgängliga känsligheter och iv möjligheten att Tydliga formler för de flesta utdelningarna Ingen annan modell har alla dessa egenskaper samtidigt 8 Det är egentligen inte så konstigt att driva en FX-optionsbok genom att värdera och säkra den enligt en platt-leende BS-modell, men ATM-volatiliteten Uppdateras kontinuerligt till handelsmarknadsnivån 9 Vi visar nu att om europeiska alternativ värderas med samma stokastiska implicita volatilitet, säger vi ATM-volatiliteten, värdeförändringarna i säkringsportföljen spårar lokalt de angivna samtalen. För detta ändamål, Vi betraktar en generisk tid t och antar ito-liknande dynamik för volatiliteten t Vi har sålunda genom Ito s lemma, dc BS t KC BS t K dt C BS t K ds t C BS t K dtt SC BS t K ds 2 S 2 t 19 C BS t K d 2 2 t C BS t K ds tdt S 8 Ett eventuellt undantag är osäkerhetsparametern för Brigo, Mercurio och Rapisarda 24 9 Kontinuerligt innebär det en daglig eller något frekventare uppdatering 11.12 Strike Expiry 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y Säkringsargument Ring Sätta Statisk replikat Jon 5 steg Call Pct Diff Sätta Pct Diff Statisk replikering 3 steg Call Pct Diff Put Pct Diff Tabell 3 Jämförelse av kvantprisalternativ erhållna genom formlerna 17 och 18 Anta även en - hedged position och att strejkningarna K i är de som härleddes vid den första Tid får vi genast DC BS T KC BS T K xit K dc BS t K det C BS t K 1 2 C BS t K 2 S 2 C BS t K 2 2 2 C BS t KS xit KC BS t K i dt Txit KC BS t K idtxit K 2 C BS t K i S 2 xit K 2 C BS t K i 2 xit K 2 C BS t K i S ds t 2 dt 2 ds tdt Den andra, fjärde och femte termen i RHS Av 2 är noll enligt definitionen av vikterna xi, medan den tredje är noll på grund av relativkopplingsalternativen Gamma och Vega i BS-världen Av samma anledning och påminner om att varje alternativ är - häftad, har vi också 2 12.13 så Att C BS T K T D C BS T K XIT KC BS T K C D C K T K D K D C BS T K IR C D BS T K xit KC BS t K i 21 xit KC BS t K i dt 22 Uttrycket i RHS i denna ekvation är känd vid tidpunkten T Därför är portföljen av en lång position i samtalet med strejk K och tre korta positioner i xit K samtal med strejk. K i är lokalt risklös vid tid t, eftersom inga stokastiska termer är inblandade i dess differential. Såsom är välkänt, I BS-paradigmet är länge samtalet med strejk K och korta C BS S-aktier i den underliggande tillgången motsvarar att inneha en lokalt risklös portfölj När volatiliteten är stokastisk och alternativen ännu värderas med BS-formuläret, kan vi fortfarande ha en lokalt Perfekt säkring, förutsatt att vi håller lämpliga mängder av tre olika alternativ Man kan undra varför vi behöver tre alternativ för att utesluta osäkerheten på grund av en stokastisk volatilitet och inte bara en som vanligtvis händer när vi introducerar en ytterligare endimensionell källa till slumpmässighet. Anledningen är tvåfaldig För det första använder vi inte en konsekvent modell, utan helt enkelt ett värderingsförfarande. I själva verket kan ingen tvådimensionell diffusionsstokastisk volatilitetsmodell producera plana leenden för alla löptider För det andra antar vi inte specifika dynamik för det underliggande och volatiliteten, men bara en generell diffusion. De tre alternativen behövs faktiskt för att utesluta modellrisken, eftersom vår säkringsstrategi härleds oberoende av den verkliga tillgången och volatiliteten Dynamik under antagandet av inga hopp 1 Slutsatser Vi har beskrivit ett marknads empiriskt förfarande för att konstruera implicerade volatilitetskurvor på valutamarknaden. Vi har sett att lekonstruktionen leder till en prissättningsformel för eventuella krav på europeisk stil. Vi har sedan bevisat konsekvensresultat Baserad på statisk replikering och på säkringsargument Smålkonstruktionsproceduren och den relaterade prissättningsformeln är ganska generella. Även om de har utvecklats för FX-alternativ kan de tillämpas på alla marknader där tre volatilitetsnoteringar är tillgängliga för en viss löptid Ett sista oupplöst problem gäller värderingen av exotiska alternativ med hjälp av en generalisering av empiriska förfarandet w Jag har illustrerat i denna artikel Detta är i allmänhet en ganska komplicerad fråga att hantera, med tanke på att de nuvarande underförstådda volatiliteterna endast innehåller information om marginaldensiteter, vilket givetvis inte är tillräckligt för att värdera vägberoende derivat. För exotiska fordringar, Ad hoc-förfaranden används vanligtvis 13.14 Exempelvis kan alternativ för barriäroptioner erhållas genom att väga kostnadsskillnaden för den replikerande strategin med riskneutral sannolikhet att inte korsa barriären före mognad. Inte bara är sådana justeringar svårare att motivera teoretiskt än Dem i vaniljfallet, men från det praktiska synvinkel kan de till och med ha motsatta tecken i förhållande till det som anges i marknadspriserna Bilaga A Bevis Proof of Proposition 3 1 Skriva systemet 9 i form x 1 t KA X 2 t kb, x 3 t k rak algebra leder till det V t V t V t K 3 S 2 d 2 t K 3 d 1 td 2 td 2 td 1 t K 3 d 2 t K 3 T d 1 td 2 Td 2 t k 3 d 1 t k 3 d 2 T K 3 d 2 td 2 td 1 td 2 td 1 td 2 td 2 t V t V t V t K 3 S 5 T 2 ln 23 vilket är strikt positivt sedan K 3 Därför adopterar 9 en unik lösning och 11 följer från Cramer s regel Proof of Proposition 5 1 Vid första ordern har man CKC BS K xi KVK iki som, med tanke på 11 och det faktum att 3 xikvki VK leder till CKC BS KVK yi KK i, där y 1 K ln KK ln Y 2 K ln KK ln y 3 K ln K ln K 14.15 Sedan följer 13 från den första orderen Taylors expansion CKC BS KVKK Proof of Proposition 5 2 Vid andra ordningen har man CKC BS K Analogt så att vi kan skriva xi KVK iki C BS 2 2 K iki 2 CKC BS KVKKC BS KK 2 2 VKK xi KVK iki C BS KK 2 2, 2 C BS 2 K iki 2 Att lösa denna algebraiska andra ordningens ekvation i k leder sedan till 14 Proof of Proposition 6 1 Likheten 16 håller om och endast om xj KHCHH j C BS H jj 1 xi KKCK i C BS K i Med 15 och omarrangemang kan vänster sida skrivas som xj KHCHH j C BS H jj 1 xj K H xi H j KCK I C BS K ij 1 xj KH xi H j KCK I C BS K ij 1 som motsvarar höger sida av ovanstående jämställdhet eftersom för varje strejk K och j 1, 2, 3, xi KK xj KH xi H j K 24 j 1 följd av en tråkig men rak applikation av formeln 11 för vikterna 15.16 Proof of Proposition 7 1 För varje operatör L har vi LV BS L edtdt S e rf T hh KC BS K Dk h K LC BS K dk som enligt definitionen av vikterna xi K blir LV BSh K xi K LC BS K i dk h K xi K LC BS K i dk h K xi K dk LC BS K I Med unika egenskaper Av vikterna xhi vi har sålunda xhi Att ersätta 17, vi får VV BS V BS V BSh Kh K xi K dk, i 1, 2, 3 h K xi K dk CK i C BS K ixi KCK I C BS K Bilaga B Den underförstådda riskneutrala densiteten VV-priset 12 definieras utan att föreslå specifika antaganden om fördelningen av den underliggande tillgången Men kunskapen om optionspriser för varje eventuell strejk implicit Bestämmer a Unik riskneutral densitet som överensstämmer med dem Faktum är att 16,17 8 7 Vanna Volga BS Figur 4 Vanna-Volga riskneutral densitet jämfört med den lognormala som kommer från BS-modellen med ATM-volatilitet enligt det allmänna resultatet av Breeden och Litzenberger 1978 , Kan den riskneutrala densiteten p T av växelkursen ST erhållas genom att differentiera två gånger alternativpriset 12 p TK e rd T 2 CK erd T 2 C BS K erd T i 2 xi KC MKT K i C BS K i 25 Den första termen i RHS är den lognormala densiteten p BS T associerad med den geometriska bruniska rörelsen med drifthastighet rdrf och volatilitet. Den andra termen, vilken är avvikelsen från lognormalitet inducerad av VV-leendet, är mer involverad och kan beräknas genom differentiering Två gånger vikterna 11 Vi får 2 x 1 KK 2 2 x 3 KK 2 VK 2 TV ln 2 T d 1 K Ln K 3 VK 2 TVK 3 2 T d 1 K ln d1 K 2 T d 1 K 1 Ln 2 T ln K 2 K K 2 d 1 K 2 T d 1 K 1 Ln 2 T ln K 1 K KKK I KA-diagrammet för den riskneutrala densiteten associerad med 12 visas i Figur 4, där den jämförs med den motsvarande lognormala densiteten p BS T 17.18 Referenser 1 Black, F och Scholes, M 1973 Prissättningen av Options och Corporate Liabilities Journal of Political Economy 81, 2 Breeden, DT och Litzenberger, 1978 1978 - Kontinenta fordringar som påverkar alternativpriser Journal of Business 51, 3 Brigo, D Mercurio, F och Rapisarda, F 24 Leende vid osäkerheten Risk 17 5, 4 Carr, PP och Madan, DB 1998 Mot en teat på volatilitetshandel i VOLATILITET eds RA Jarrow Risk Books 5 Lee, RW 24 Momentformeln för underförstådd volatilitet vid extrema strejker Matematisk finansiering 14 3.Konsistent prissättning av FX Options. In de nuvarande marknaderna är alternativ med olika slag eller löptider vanligtvis prissatta med olika underförstådda volatiliteter. Detta stiliserade faktum , Som vanligen kallas asfsmileffekt, kan tillgodoses genom att tillgripa specifika modeller, antingen för prissättning av exotiska derivat eller för att avleda implicita volatiliteter för icke-citerade strejker eller Löptider Den tidigare uppgiften uppnås vanligen genom att införa alternativ dynamik för det underliggande tillgångspriset, medan det senare ofta hanteras genom statiska justeringar eller interpoleringar. I den här artikeln behandlar vi den senare frågan och analyserar en möjlig lösning i utländsk valuta FX-optionsmarknad På en sådan marknad finns det i själva verket endast tre aktiva citat för varje marknadsmognad, 0Delta-strängen, riskomvandlingen och den vegavägda fjärilen, vilket innebär att vi med problemet med en konsekvent bestämning av de andra underförstådda volatiliteterna. FX-mäklare och marknadsaktörer adresserar vanligen detta problem genom att använda ett empiriskt förfarande för att konstruera hela leendet för en viss mognad. Volatilitets citat tillhandahålls sedan i form av alternativet Delta, för områden från 5Delta till 5Delta-samtalet. Följande kommer vi att granska detta marknadsförfarande för en viss valuta I synnerhet kommer vi att härleda slutna formulär för att göra dess konstruktion Mer explicit Vi kommer då att testa robustheten i en statisk betydelse av det resulterande leendet, genom att de konsekvent växlar de tre första paren av strejk och volatilitet producerar så småningom samma underförstådda volatilitetskurva. Vi kommer också att visa att samma procedur som tillämpas på Europeanstyle-krav är konsekvent Med resultat av statisk replikation och överväga till exempel det praktiska fallet med ett kvanto europeiskt alternativ. Vi kommer äntligen att bevisa att marknadsförfarandet också kan motiveras dynamiskt, genom att definiera en säkringsstrategi som är lokalt replikerande och självfinansierande. Nyckelord FX-alternativ, le, konsistensprissättning, stokastisk volatilitet. JEL-klassificering G13.Suggested Citation Suggested Citation. Castagna, Antonio och Mercurio, Fabio, konsekvent prissättning av FX-alternativ tillgängliga på SSRN eller. Iason Ltd email. Consistent Pricing of FX Options. In De nuvarande marknaderna, alternativ med olika strejker eller löptider prissätts vanligtvis med olika underförstådda volatiliteter. Detta stiliserade faktum Som vanligen kallas asfsmileffekt kan tillgodoses genom att tillgripa specifika modeller antingen för prissättning av exotiska derivat eller för att avleda implicita volatiliteter för icke-citerade strejker eller löptider. Den tidigare uppgiften uppnås vanligen genom att införa alternativ dynamik för underliggande tillgångspris, Medan den senare ofta hanteras genom statiska justeringar eller interpoleringar. I den här artikeln behandlar vi den här senare frågan och analyserar en möjlig lösning på en valutamarknads valutamarknadsmarknad. På en sådan marknad finns det i själva verket endast tre aktiva citat För varje marknadslängd, 0Delta-sträckan, riskomvandlingen och den vega-viktade fjärilen, vilket förorsakar oss med problemet med en konsekvent bestämning av de andra underförstådda volatiliteterna. FX-mäklare och marknadsaktörer adresserar vanligtvis detta problem genom att använda ett empiriskt förfarande för att konstruera Hela leendet för en given mognad Volatilitet citat tillhandahålls sedan i fråga om alternativet s Delta, för r anges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit We will then test the robustness in a static sense of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Keywords FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility. JEL Classification G13.Suggested Citation Suggested Citation. Castagna, Antonio and Mercurio, Fabio, Consistent Pricing of FX Options Availabl e at SSRN or. Iason Ltd email.
No comments:
Post a Comment